ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{3} = 1$ ના બિંદુ $\left( 2, \frac{3}{2} \right)$ આગળનો અભિલંબ એક પરવલયને સ્પર્શે છે,જેનું સમીકરણ છે

વક્રો $y^{2}=4ax$ અને $x^{2}=4by$ ના છેદકોણ શોધો.

જો અતિવલય $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ અને ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિઓ એકરૂપ હોય,તો $b^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $e_{1}$ અને $e_{2}$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(b < 5)$ અને અતિવલય $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા છે,જે $e_{1}e_{2}=1$ નું સમાધાન કરે છે. જો $\alpha$ અને $\beta$ એ અનુક્રમે ઉપવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર અને અતિવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(\alpha, \beta)$ બરાબર છે

ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(b>a)$ અને પરવલય $y^2=8ax$ કાટખૂણે છેદે છે. જો $e$ એ ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો $e^4$ ની કિંમત કેટલી થાય?

અતિવલય $H : x^{2} - y^{2} = 1$ અને ઉપવલય $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ માટે જ્યાં $a > b > 0$,ધારો કે $(1)$ $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત છે,અને $(2)$ રેખા $y = \sqrt{\frac{5}{2}} x + K$ એ $E$ અને $H$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે. તો $4(a^{2} + b^{2})$ ની કિંમત શોધો: